0.999… = 1

Häh?

Det tänkte jag också, när jag först såg ekvationen på dagens ”featured article” på wikipedia (skulle egentligen söka upp nånting annat, men min uppmärksamhet blir lätt avledd). Men konstigt nog verkar det faktiskt stämma!

0,999… betyder alltså att niorna fortsätter i all oändlighet efter decimalkommat (en oändlig decimalutveckling), och likhetstecknet gör verkligen anspråk på att representera en seriöst fullblodig, matematiskt och absolut likhet, som i 1=1. Det naturliga, åtminstone enligt mig, skulle vara att tänka att 0,999… bara är nästan lika med ett, att det står för ett tal som ligger oändligt nära 1, men är lite mindre. Typ ”epsilon mindre än” (för dem som haft matte med Georg).

Men om man jämför med andra tal som har en oändlig decimalutveckling ser man att saker kanske är lite annorlunda än man först tänkte. Kolla till exempel på 1/3 = 0,333… Om man skulle ta ett mycket stort, men ändligt antal treor efter kommatecknet så skulle talet vara aningen mindre än en en tredjedel (0,333…3 < 1/3), på samma sätt som vansinnigt många nior efter kommatecknet skulle vara ett tal mindre än ett (0,999..9 < 1). Men med 0,333… avser man det rationella talet 1/3 i sig självt. På samma sätt borde man alltså med 0,999… mena själva gränsvärdet för processen av att man lägger till allt fler nior efter kommatecknet. D.v.s. talet ett. Det har alltså med definitionen av hur man skriver decimaltal att göra.

Man kan också se det så att om man multiplicerar 0,333… med 3 så får man 0,999… (3 * 0,333… = 0,999…). Men tre gånger en tredjedel borde ju bli ett!

0,999… = 3 * 0,333… = 3 * (1/3) = 1